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丘成桐:几何学赏析

时间:2013-01-30 16:00:17  来源:  作者:

著名华裔数学家丘成桐—几何学赏析
主题:著名华裔数学家丘成桐先生——几何学赏析
时间:2011年11月4日
地点:中国人民大学
主办:中国人民大学人文院和艺术学院
编辑:陈芳
丘成桐(Shing-Tung Yau,1949年4月4日-) :
著名华裔数学家,哈佛大学终身教授、美国科学院院士、中国科学院外籍院士及多个国家科学院的外籍院士。曾获得数学界最高荣誉菲尔兹奖、有数学家终身成就奖之称的以色列沃尔夫数学奖、瑞典皇家科学院克拉福德奖等数学界顶级荣誉。
part01几何起源:毕达哥拉斯—柏拉图-欧几里得-傅里叶
“数学跟大自然一样广泛、丰富,和大自然走的是相同的轨道,也共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定”。
今天很高兴在这边做这个演讲,我对文学、人文科学其实都不是很懂,都是自学,所以讲人文方面都是班门弄斧,希望你们专家能够原谅。今天讲的几何学倒是我的专长,我研究几何学45年,对几何一直都是很喜欢,我的数学就是从几何学来,以后更应用到很多方面。
现在我们来讲几何的起源。几何起源很老,基本上有4000年的历史。古代人在生活实践中发现了很多简单的几何图形,发觉它们满足了一定的规律——简洁、明了,具有一种美感。于是他们开始研究几何,这种美感令人赞叹。几何图形,在埃及、巴比伦都有很多论述,但这些论述都不是系统化的。
1、泰勒斯。
到公元前68年,在希腊文明中才得到明确的推崇。第一位对几何有兴趣的希腊哲学家叫泰勒斯(Thales),他开始晓得不能够用神秘宗教来解释自然,要创造一个演绎的方法,利用逻辑的思想来统一自然界与几何的现象。这是一个很大的突变,以前哪个国家的文化都没有这种想法。
2、毕达哥拉斯
他的学生毕达哥拉斯(Pythagoras)采取了定理证明的概念,毕达哥拉斯学派很重要,影响了整个西方的科学思想,这里不是一个人,是一群数学家。他们认为宇宙的实体有两个:一个是数字,万物都是数字,数的存在是有限方面的实体;一个是无限的空间,空间是存在的无限的实体。数字跟空间合在一起,生出宇宙万象。这个概念一路影响到今天,不仅仅是几何本身,早在16世纪发展解析几何的时候,就用到坐标系统、用到数字来描述,到现在计算机能够用数字来描述,世界上一切东西都跟这个有关;而我们看到物体的分布影响到空间几何,也受到空间几何的影响,这个概念也是近代物理爱因斯坦推崇的主要概念。
3. 柏拉图的三个著名几何问题
第三个重要的人物是柏拉图(Plato),他是一位哲学家也是数学家,他在雅典郊外成立了一个很出名的学院叫Academy(也称柏拉图学园),相传他的文章讲“不懂几何学者,不能进这个学园的门”,可见柏拉图在希腊学界多么重视几何学。这种理念也影响了西方科学相当长的时间。柏拉图虽是哲学家,但他对数学有很浓厚的兴趣,他认为几何上有五种正多面体,在三维空间里只有五个正多面体,跟二维空间不一样。这个命题在欧几里得的《几何原本》中被证明。这个命题的证明并不是很简单,可是这个定理令希腊的哲学家很兴奋,他们认为这是自然界赐予的一个美好的理论。这种理念影响了很久,甚至到了19世纪,伟大的天文学家开普勒,还企图用此来解释宇宙的结构、身体的运行,不幸地,开普勒的解释是错误的。可在大自然的晶体里,我们可以找出五种结构出来,这五个结构影响到今天的数学发展。
柏拉图提出了三个著名的几何问题:三等分一角;构造正方形与单位圆同面积;构造立方体,其体积是单位立方体的两倍。我希望你们在中学学过这三个问题,这三个问题影响数学界差不多2000多年,第三个问题在中国、印度亦出现过。如果容许用复杂的机械来解决这三个问题,古代数学家早已找到答案,但柏拉图坚持我们用最单纯的几何方法,即只靠圆规和直尺来构造,也因此这三个问题影响了很久。
第三个问题又叫Delos问题,传说Delos城的居民为了解除太阳神Apollo(阿波罗)降给他们的瘟疫,向Delphi(智慧女神)神庙的祭司求救,祭祀要求他们做一个立方体,它的体积要刚巧是Apollo祭坛立方体的一倍。他们不懂得怎么解决,只好向柏拉图请教。这个问题有很久的历史,可能是蛮有兴趣的一个传说。
4. 伽罗华群论
柏拉图提出的这三个几何问题直到19世纪伽罗华理论(Galois Theory)出现后,才得到完满的解决。伽罗华是位年轻数学家,21岁就去世了,他解决这个问题的时候才20岁,留下了很多重要手稿。他去世不是病死也不是其他,而是为了争女朋友跟一个朋友决斗而亡,很不幸。他的方法中是用到一个很重要的概念叫群论,用群论解决了这三个问题。他们发现这些问题跟用圆规与直尺构造的数字有密切关系。他们发现这些数字必须满足一些以整数位系数多项式方程式。然而,假如用圆规与直尺来做的话,这三个问题所产生的数字(比如√π、?2)并不能满足这些方程(1882年的Lindemann证明π为超越数,它不满足任何整数为系数的方程),因此,这些古典问题是不能用圆规和直尺来解决的。
所以这三个问题是很古老的问题,直到19世纪用相当高深的数学才能完满地解决。这三个问题只不过是好奇,可是解决它们的方法却影响到近代数学与近代科学的发展。伽罗华群论成为20世纪、21世纪最重要的理论之一。
5、欧几里得五条公理
欧几里得是柏拉图之后集几何学的大成,他由五条公理推到大量有趣的命题,实开千古科学演绎法之先河,直接影响到以后牛顿力学体系。牛顿利用三个基本定律来推导天体的运行,其中逻辑运用之妙,无可伦比。
逻辑运用,是很重要的事情,这也是整个中国科学发展缺少的一部分,西方从希腊数学家就开始了。欧几里得其实用了柏拉图学生亚里士多德发明的三段论证法。三段论证有大前提、小前提、结论,看起来简单,可是学生很少明白,中国的科学也很少用。
欧几里得就是通过归纳法,发现平面几何上有五条显而易见的性质。举例来讲,两点可以用一条直线连起来等种种不同方法,归纳出五条公理,并根据这个公理推导出平面几何所有的定理。这是一个漂亮伟大的贡献。
第5条公理叫平行公理,在直线外任何一点,必有唯一的直线通过这点而不与原来的直线相交,就是一个平行线。我们都学过这个公理,很多人现在认为可以接受。可是差不多有20世纪,哲学家都不大愿意接受这条公理,他们企图用其他四条公理去证明,但都没有办法成功。今天看起来好像简单的一个问题,可是哲学家始终不服输,一路到19世纪初期,算术几何的面世,才发现平行公理是不能用其他四条公理证明的。

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