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王元:数学竞赛之我见

时间:2011-02-08 11:57:45  来源:  作者:

王元(1930-),著名数学家,华罗庚数学奖得主

随着数学竞赛的发展,已逐渐形成一门特殊的数学学科--竞赛数学。

第一部分 数学竞赛的简史


数学竞赛与体育竞赛相类似,它是青少年的一种智力竞赛,所以苏联人首创了“数学奥林匹克”这个名词。在类似的以基础科学为竞赛内容的智力竞赛中,数学竞赛历史最悠久,参赛国最多,影响也最大。比较正规的数学竞赛是1894年在匈牙利开始的,除因两次世界大战及1956年事件而停止了7届外,迄今已举行过90多届。苏联的数学竞赛开始于1934年,美国的数学竞赛则是1938年开始的。这两个国家除第二次世界大战期间各停止了3年外,均己举行过50多届,其他有长久数学竞赛历史的国家是罗马尼亚(始于1902年)、保加利亚(始于1949年)和中国(始于1956年)。


1956年,东欧国家和苏联正式确定了国际数学奥林匹克的计划,并于1959年在罗马尼亚布拉索夫举行了第一届国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad,简称IMO)。以后每年举行一次。除1980年因东道国蒙古经济困难停办外,至今共举行过40届。参赛国家也愈来愈多。第一届仅7个国家参加,至1980年已有23个;到1990年,则有54个。

必须说明在上述历史之前已有一些数学竞赛活动,例如苏联人说,在1886年帝俄时代就举行过数学竞赛。又如1926年在中国上海市举办过包括学生、银行和钱庄职员在内的珠算比赛,中华职业学校一年级学生,16岁的华罗庚凭智慧夺得了冠军。这些都是关于数学竞赛的佳话,不列入正史。


第二部分 数学竞赛的发展


数学竞赛活动是由个别城市,向整个国家,再向全世界逐步发展起来的。例如苏联的数学竞赛就是先从列宁格勒和莫斯科开始,至1962年拓展至全国的,美国则是到1957年才有全国性的数学竞赛的。


数学竞赛活动也是由浅入深逐步发展的。几乎每个国家的数学竞赛活动都是先由一些著名数学家出面提倡组织,试题与中学课本中的习题很接近,然后逐渐深入,并有一些数学家花比较多的精力从事选题及竞赛组织工作,这时的试题逐渐脱离中学课本范围,当然仍要求用初等数学语言陈述试题并可以用初等数学方法求解。例如苏联数学竞赛之初,著名数学家柯尔莫哥洛夫、亚历山大洛夫、狄隆涅等都参与过这一工作。在美国,则有著名数学家伯克霍夫父子、波利亚、卡普兰斯基等参与过这项工作。


国际数学奥林匹克开始举办后,参赛各国的备赛工作往往主要是对选手进行一次强化培训,以拓广他们的知识,提高他们的解题能力。这种培训课程是很难的,比中学数学深了很多。这时就需要少数数学家专门从事这项活动。

数学竞赛搞得好的国家,竞赛活动往往采取层层竞赛、层层选拔这种金字塔式的方式进行。例如。苏联分五级竞赛,即校级、市级、省级、加盟共和国级和全苏竞赛,每一级的竞赛人数约为前一级的1/10,还设立了8个专门的数学学校(或数学奥林匹克学校),以培养数学素质好的学生。


数学竞赛虽然历史悠久,但最近10年有很大发展和变化,有关工作愈趋专门,我们要认真注意其发展,认识其规律。

 

第三部分 数学竞赛的作用


1. 选拔出有数学才能的青少年。由于数学竞赛是在层层竞赛,水平逐步加深的考核基础上选拔出优胜者,优胜者既要有踏实广泛的数学基础,又要有灵活机智的头脑和富于创造性的才能,所以他们往往是既刻苦努力又很聪明的青少年。这些人将来成才的概率是很大的。数学竞赛活动受到愈来愈多国家的注意,在世界上发展得那么快的重要原因之一就在于此。在匈牙利,著名数学家费叶、黎茨、舍贵、寇尼希、哈尔、拉多等部曾是数学竞赛的优胜者。在波兰,著名数论专家辛哲尔是一位数学竞赛优胜者。在美国,数学竞赛优胜者中后来成为菲尔兹数学奖获得者的有米尔诺、曼福德、奎伦三人,也有不少优胜者成为著名的物理学家或工程师,如著名力学家冯·卡门。


2. 激发了青少年学习数学的兴趣。数学在一切自然科学、社会科学和现代化管理等方面都愈来愈显得重要和必不可少。由于电子计算机的发展,各门科学更趋于深入和成熟,由定性研究进入定量研究。因此青少年学好数学对于他们将来学好一切科学,几乎都是必要的。数学竞赛将健康的竞争机制引进青少年的数学学习中,将激发他们的上进心,激发他们的创造性思维。由于数学竞赛是分级地金字塔式地进行的,所以国家级竞赛之前的竞赛,试题基本上不跳离中学数学课本范围,适合广大青少年参加.但也要承认人的天赋和数学素质是有差别的,甚至会有很大的差别。国家级竞赛及其以后的竞赛和培训,只能在少数人中拔高进行,少数有很好数学素质的青少年是吃得消的。例如,澳大利亚少年托里·陶在他10岁、11岁和12岁时分别在第27、28和29届国际数学奥林匹克上获得铜牌、银牌和金牌。在数学竞赛的拔高阶段当然需要一些大学老师和数学专业研究人员参与。


3. 推动了数学的教学改革工作。数学竞赛进入高层次后,试题内容往往是高等数学的初等化。这不仅给中学数学添人了新鲜内容,而且有可能在逐步积累的过程中,促使中学数学教学在一个新的基础上进行反思,由量变转入质变。中学教师也可在参与数学竞赛活动的过程中,学得新知识,提高水平,开阔眼界,事实上,己有一些数学教学工作者在这项活动中逐渐尝到了甜头。因此数学竞赛也可能是中学数学课程改革的"催化剂"之一,似乎比自上而下的"灌输式"的办法为好。60年代初,西方所谓中学数学教学现代化运动即是企图用某些现代数学代替陈旧的中学数学内容,但采取了由上往下灌输的方法,结果既脱离教师水平,也脱离学生循序学习所需要的直观思维过程。现在基本上被风一吹,宣告失败了。相反地,数学竞赛也许是一条途径。在中国,中学生的高考压力很重,中学教师为此而奔波,确有路子愈走愈窄之感。数学竞赛或许能使中学数学的教学改革走向康庄大道。


第四部分 竞赛数学--奥林匹克数学


随着数学竞赛的发展,已逐渐形成一门特殊的数学学科-竞赛数学,也可称为奥林匹克数学。将高等数学下放到初等数学中去,用初等数学的语言来表述高等数学的问题,并用初等数学方法来解决这些问题,这就是竞赛数学的任务。这里的问题甚至解法的背景往往来源于某些高等数学。数学就其方法而言,大体上可以分成分析与代数,即连续数学与离散数学。由于目前微积分不属于国际数学奥林匹克的范围,所以下放离散数学就是竞赛数学的主体。很多国际数学奥林匹克的试题来自数沦、组合分析、近世代数、组合几何、函数方程等。当然也包含中学课程中的平面几何。

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