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朗兰兹和自守表示

时间:2011-01-08 11:52:55  来源:  作者:

自守表示有三种等价的表现: 1 分析形式 群上调和分析 --〉算子代数 模空间的量子化 2 代数形式 魏玛模及最高权表示---量子化--〉量子群及顶点代数的表示--范畴化--〉公理化量子场论 3 几何形式 算术及代数几何 几何表示论(BW定理 佐竹对应 海克对应 D-模 反常层 BBD对应 黎曼-希尔伯特对应 )motive 理论 一般的朗兰兹猜想: 一维的函数域(代数曲线)的扩张理论(伽罗华表示)可以参数化两维共形场论 高维的函数域(高维代数簇)的“扩张“理论(伽罗华表示)可以参数化高维的量子场论!! 朗兰兹猜想的一种精神:就是互反律,试图从域本身的性质(内在性质)刻画或反映它的所有伽罗华扩张。域本身的性质目前的理解就是其几何性质:整体域中的代数数域就是“Z上的几何”,函数域就是有限域上的一维代数几何,整体域的几何性质是整体几何,局部域的几何相对简单,整体几何可以由所有的局部几何所决定(局部整体原则),这种决定不是线性的,即各个局部几何之间不是独立的,由于整体几何的非平凡性,给出局部几何之间的刚性限制关系。几何性质进一步表现为阿代尔化的代数群的自守表示。局部几何相对单纯,是“Adic群”的自守表示和“loop群”自守表示类似。几何朗兰兹纲领中的局部几何就是“loop群”自守表示,代数形式就是范畴化了的表示论和无限维非交换代数几何。 朗兰兹纲领的首要的猜想为,伽罗华表示可以参数化自守表示,一种“广义互反律”。 非分歧的情形参数化过程可以有海克对应给出。海克修饰是非常本质的东西!! 但是对于分歧的情形,仍然未知,在几何朗兰兹情形,整体对应关键在于处理分岐的局部对应。局部分歧的情形怎么处理??局部几何的分歧和非分歧有何本质的区别?? 其他的猜想可以概括为:函子性,即参数化与其他函子是交换或者说在其他一些变换下是稳定的,具体包括:提升性质 基底变换性质 ,有些在自守表示方面 有些在伽罗化表示,有些在于朗兰兹对偶群方面 互反律的最简单表现就是:基域上的不可约多项式如何在其扩域上分解,或者稍微不同点,就是素除子在扩张下的分歧情况 朗兰兹函数(L函数)的精神: L函数为数学对象的数值不变量(通常为整数)的生成函数或无限维李群的特征,可视为为复平面上解析函数,这些数学对象可以是表示 ,代数簇,流形,微分算子等等,L函数期望具有好的解析性质,比如函数方程 乘积展开 零点和极点分布,通过这些性质反映数学对象的算术的,代数的,几何的,拓扑的,组合的性质,以及它们的对称性等等。这样数学上的很多定理就表现为关于L函数的定理。在朗兰兹纲领中还有一种精神,就是不同范畴之间结构性的类比,比如加罗华群可以视为代数簇的映射类群,等等

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