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命题、定理、证明

时间:2010-05-24 08:31:39  来源:  作者:

命题

1、能够判断真假的语句叫做命题,正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题。

2、“若p,则q”形式的命题中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论。

逻辑联结词

简单的逻辑联结词包括:或、且、非。

(1)或
1、用联结词“或”把p与q联结起来称为一个新命题,记作p∨q,读作“p或q”。
2、命题p∨q的真假的判定:一真必真
p q p∨q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
(2)且
1、用联结词“且”把p与q联结起来称为一个新命题,记作p∧q,读作“p且q”。
2、命题p∧q的真假的判定:一假必假
p q p∧q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
(3)非
1、对于一个命题p如果仅将它的结论否定,就得到一个新命题,记作┐p,读作“非p”。
2、命题┐p的真假的判定:真假相对
p ┐p
真 假
假 真

《几何原本》命题(特指)

特指欧几里德的《几何原本》中的被证明的命题,如下列48个命题:
1. 在一个已知有限直线上作一个等边三角形。
2. 由一个已知点(作为端点)作一线段等於已知线段。
3. 已知两条不相等的线段,试由大的上边截取一条线段使它等于另外一条。
4. 如果两个三角形有两边分别等于两边,而且这些相等的线段所夹的角相等,那么,它们的底边等于底边,三角形全等于三角形,而且其余的角等于其余的角,即那等边所对的角。
5. 在等腰三角形中,两底角彼此相等;并且,若向下延长两腰,则在底以下的两角也彼此相等。
6. 如果在一个三角形中,有两角彼此相等,则等角所对的边也彼此相等。
7. 在已知线段上(从它的两个端点)作出相交於一点的二线段,则不可能在该线段(从它的两个端点)的同侧作出相交于另一点的另二条线段,使得作出的二线段分别等于前面二线段。即每个交点到相同端点的线段相等。
8. 如果两个三角形的一个有两边分别等于另一个的两边,并且一个的底等于另一个的底,则夹在等边中间的角也相等。
9. 二等分一个己知直线角。
10. 二等分已知有限直线。
11. 由已知直线上一已知点作一直线和已知直线成直角。
12. 由已知无限直线外一已知点作该直线的垂线。
13. 一条直线和另一条直线所交成的邻角,或者是两个直角或者它们等于两个直角的和。
14. 如果过任意直线上点有两条直线不在这一直线的同侧,且和直线所成邻角和等于二直角,则这两条直线在同一直线上。
15. 如果两直线相交,则它们交成的对顶角相等。
16. 在任意的三角形中,若延长一边,则外角大於任何一个内对角。
17. 在任何三角形中,任何两角之和小於两直角。
18. 在任何三角形中,大边对大角。
19. 在任何三角形中,大角对大边。
20. 在任何三角形中,任意两边之和大于第三边。
21. 如果由三角形的一条边的两个端点作相交于三角形内的两条线段,由交点到两端点的线段的和小于三角形其余两边的和。但是,其夹角大于三角形的顶角。
22. 试由分别等于已知三条线段的三条线段作一个三角形:在这样的三条已知线段中,任二条线段之和必须大于另外一条线段。
23. 在已知直线和它上面一点,作一个直线角等于己知直线角。
24. 如果两个三角形中,一个的两条边分别与另一个的两条边相等,且一个的夹角大于另一个的夹角,则夹角大的所对的边也较大。
25. 如果在两个三角形中,一个的两条边分别等于另一个的两条边,则第三边较大的所对的角也较大。
26. 如果在两个三角形中,一个的两个角分别等于另一个的两个角,而且一边等于另一个的一边。即或者这边是等角的夹边,或者是等角的对边。则它们的其他的边也等于其他的边,且其他的角也等于其他的角。
27. 如果一直线和两直线相交所成的错角彼此相等,则这二直线互相平行。
28. 如果一直线和二直线相交所成的同位角相等,或者同旁内角的和等于二直角,则二直线互相平行。
29. 一条直线与两条平行直线相交,则所成的内错角相等,同位角相等,且同旁内角的和等于二直角。
30. 一些直线平行于同一条直线,则它们也互相平行。
31. 过一已知点作一直线平行於已知直线。
32. 在任意三角形中,如果延长一边,则外角等于二内对角的和,而且三角形的三个内角的和等于二直角。
33. 在同一方向(分别)连接相等且平行的线段(的端点),它们自身也相等且平行。
34. 在平行四边形面片中,对边相等,对角相等且对角线二等分其面片。
35. 在同底上且在相同两平行线之间的平行四边形彼此相等。
36. 在等底上且在相同二平行线之间的平行四边形彼此相等。
37. 在同底上且在相同二平行线之间的三角形彼此相等。
38. 在等底上且在相同二平行线之间的三角形彼此相等。
39. 在同底上且在底的同一侧的相等三角形必在相同二平行线之间。
40. 等底且在底的同侧的相等三角形也在相同二平行线之间。
41. 如果一个平行四边形和一个三角形既同底又在二平行线之间,则平行四边形是这个三角形的二倍。
42. 用已知直线角作平行四边形,使它等于已知三角形。
43. 在任何平行四边形中,对角线两边的平行四边形的补形彼此相等。
44. 用已知线段及已知直线角作一个平行四边形,使它等于已知三角形。
45. 用一个已知直线角作一平行四边形使它等于已知直线形。
46. 在已知线段上作一个正方形。
47. 在直角三角形中,直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和。
48. 如果在一个三角形中,一边上的正方形等于这个三角形另外两边上正方形的和,则夹在后两边之间的角是直角。

定理是经过受逻辑限制的证明为真的叙述。一般来说,在数学中,只有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。

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