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世界名画中的数学16—变换b

时间:2014-05-16 21:07:19  来源:  作者:

 

变换有时表现出一种突变的形式。也就是说当物体满足了某种条件后就会变成另一种状态。这样的现象在数学物理中叫“相变”。我们来看看埃舍尔是如何表现相变的。
 

 
   上面这幅埃舍尔的《魔镜》(Magic Mirror1946)是他一幅很有名的作品。这幅作品,通过镜面将世界分为了真实和镜像两部分。如果只是如此,倒也没什么特别之处,我们每天照镜子,知道镜子里面的人就是这个世界里“我”的像。如果镜面足够平,这个“像”除了左右颠倒,是完全反映了真实世界里“我”的面貌。埃舍尔却没有止步于此,他让镜前真实世界里有一群运动着的小生物,而且他还画了一个镜子背后的世界。镜前小生物的运动线路很诡异,它们好像是是从镜子里面爬出来,绕了一圈,又以渐变的方式进入镜子背后的世界。同时,镜子背后的世界才是真正的“像”世界,与镜前的世界完全对称,好似虚世界不只是在二维的镜面上,而是有一个和实世界一样的三维空间,它们的界面就是镜面。有意思的是渐变过程,过了镜面以后,方向不变的小生物的颜色黑白相易了,也就是说虚实交换了,这反映了“虚”和“实”相对的辩证关系,在虚世界,实空间里的虚像是实的,而实空间里的实像在那里是虚的。这种现象在数学中称为“共轭”,而数学中映射与反映射,互为映射对方的像空间是很普遍的。镜面的二维世界和真正的三维“像”世界通过那只球反映出它们的差异。埃舍尔以这样一种现实生活中常见却超常的方式图示了相变、共轭和反射等数学概念。见到这样的作品,怎能不让那些自视清高,生活在抽象世界里的数学家们抓狂呢?
 
   下面这幅画叫《解放》(Liberation 1955),描述了一群飞鸟从二维到三维,从束缚到自由的过程。这幅画从一个卷轴开始,卷轴上开始是一些镶嵌的平面三角形。埃舍尔应用他熟练的渐变技巧,将其慢慢变成了鸟形。开始时,这些鸟紧嵌在一起,慢慢地它们之间的制约越来越弱。在跨过一个隐约可见,灰白相间的界面后,二维的鸟忽然挣脱束缚,变成三维的鸟飞向空中,并且越飞越远。再数学物理的眼光中,如果把鸟看成是物体的分子,这幅画活脱脱地诠释了物体从固态到气态(过渡过程是液态)的相变过程。画中由下至上,“温度”逐渐升高。开始时反映能量的“温度”很低,几乎没有热运动,分子束缚于晶格中,物体为固态。随着“温度”的上升,热运动愈演愈烈,分子获得的能量也逐渐增多。当能量足够大时,晶格被彻底摧毁,热运动打破了分子间的束缚,物体变成自由的气态。分子们得以“解放”。在数学上,两个状态分别满足两个数学过程。这两个过程通过在相变面上满足一定的条件连接起来。如果相变面还与未知的状态函数有关,那么这就是数学中的自由边界问题。从数学的观点看,如果高维函数维度之间联系很弱,是可以通过降维的技巧加以考虑。而上述的固态相比就比气态更有可能降维,埃舍尔直接将固态画成降维状态,不能不说作为艺术家的他的确有驰骋于数学物理世界的“直通车”。
 
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