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理解数学——模型(1)

时间:2013-08-16 19:58:27  来源:  作者:

对于数学,许多人关心的是怎么应用,这也是需要训练和智力的。最简单数学应用是算术的加减法,通常认为这是碰到了就会用的事,忘记了这也是在小学里被不断考试逼得才习惯的。小懵小的时候被他妈考:“口袋里有两个钢蹦,回家后发现口袋破了,还剩啥?”,小懵答:“还有个洞。”问:“你同学有5个苹果,被你吃了3个,结果是什么?”答:“被他揍一顿。”经过上学不断做作业补考后,学会了算术。上班工作时老板问大家:“公司每次送货到上海要一天的时间,有什么办法会快一点?”小懵冲口而出:“派两辆车去,能省一半时间。”被老板开了以后,小懵很懊恼:“数学有什么用,越学越出错!”

小学训练了数字运算和算术的应用后,经过中学代数几何三角的训练,基本要学会把生活中的具体问题转化成已经解决过的一般性问题,也就是套公式和用定理。不太笨的学了点抽象思维,知道怎样考虑一般性的问题,也就是推导公式和证明定理。韩寒说数学学到初一就行了,怕是没过这一关,能算一下跑车速度、时间及稿费和字数的关系,大约就是他对数学的最多的理解了。套公式来钱没有套人快。

大学理工科的数学训练,是学习怎么将不怎么像数学的实际问题变成数学问题,也就是建立起数学模型,利用数学的方法和理论来解决问题。这又比中学的数学应用能力高了一个层次。很多人中学的数学成绩也不错,大学毕业了,其实还没学好套公式和用定理这个层次的数学应用本领,更谈不上建立模型的应用。所以老觉得数学没有用。

有的人可能不服气,“我怎么也是数学高分考进大学的,怎么不会套公式用定理?”你的高分可能只是师傅喂招练的样子货,不会用在实战中。现实问题和公式定理的关系,都不是像考试那样专门设计给你作答的,总是转了些弯,夹杂着许多不相干的东西,要动点脑筋处理,这要有点想象力和对数学的理解力,能分清主次抽取本质才会应用。

举个例,博文“征婚选择的最佳策略”,介绍“有n个美女逐个介绍与你约会,依序每次只见一个,你选了她就没机会见到后面可能更好的;如果让她走了,也许后面都不如她,问怎么选结果最好?”这问题经数学推演后有个很简单的一般结果,最大概率选到了心仪美女的策略是:

对于n个依次来临的机会,首先对前[n/e]个仅仅作了解,不做选择,然后开始将约会的与前面所有见到的相比,如果更好就接受,否则等下一个。这里e=2.71828…,[n/e]是n/e的整数部分。

有人说:“谈恋爱用数学算,能有感情吗?”这是抬扛,就像说感情好不用送花一样的矫情。其实这选择策略和谈感情并不排斥。有排斥的只是对数学应用的理解。有人说:“我有老婆了,飘过。”这课题虽然有“征婚选择”的广告,其实谈的是对于n个依次来临机会,最佳选择策略的公式定理。现实中遇到的相亲、求职、选项目和逛商店买东西,都是符合这公式定理的应用。有多少人会想到可以套用这个公式定理?读过证明思路掌握其道理的人,能否根据自己问题的特殊性,对这策略略加调整来应用?

大家可能说,这凭经验就行了,一般不费这脑筋。当然这是牛刀小用,但用数学解决实际问题的精神是一样的。1962年劳埃德•沙普利(Lloyd S. Shapley)与大卫•盖尔发表篇论文,为稳定婚配设计一个求偶规则——盖尔-沙普利(Gale-Shapley)算法,也是个类似的例子。许多人看了这论题大笑之,婚配能这么简单?1997年,埃尔文•罗斯(AlvinE. Roth)把这算法应用到全国住院医生匹配项目,每年为美国医院匹配超过2万个岗位。2003年,他为纽约市公立高中的制定申请者和学校的配比规则,从此不喜欢自己所在高中的学生减少了90%。今天,越来越多的美国城市学校使用了盖尔-沙普利算法。现在肾脏捐赠的匹配也是用这个算法。结果2012年诺贝尔经济奖由罗斯和沙普利共同获得,以奖励他们提出的“稳定分配理论和市场设计中的实践”。 Gale-Shapley算法没有用到什么高深的数学,罗斯的应用基本也是套用公式定理,他们只是把数学应用的本领发挥出来。

套用公式定理的数学应用比较简单,基本是将与公式定理很适用的实际问题,规范整理一下,直接套用就行了。对于离现成理论比较远,不大靠近规范的数学问题,就需要剔除枝节抓住重点,抽象归纳成一个数学模型,然后寻求数学的答案。这是大学理工科要学会应用数学的功力。

阿呆上了大学后,知好色而慕少艾,追了同班的阿春,感情与日俱增,回宿舍翻了中学传的追妞进展公式,xk=x0(1+r)k,这k次牵手感情的xk值是离散的递增,不足以反映这整天腻在一起的变化。进大学了,应该有能力给自己解惑。他体会到感情随时间变化的速度与已有的感情成正比,如果这个比率是r,用了刚学的微积分知识,就可以列出微分方程 dx/dt=rx,不难解出x(t)=x0ert,呈指数函数增长呀,多让人激动!过了几星期,阿呆觉得增进没那么猛了,有点郁闷,同室损友说知足吧,这你侬我侬的能涨到没个边?总会饱和吧!阿呆想想有道理,如果感情饱和值是xm,这增长率r应该由差距的比例值来修正,可以写成r(x)=r(1–x/xm),列出微分方程就是: dx/dt=r(1−x/xm)x,这岂不是阻滞增长的Logistic模型?它的解x(t)=xm/(1+(xm/x0−1)e−rt) 是先快速增长后渐进饱和的S形曲线。这让人心安了,符合万物增长的自然规律呀!再过一段时间,阿呆发现阿春的情绪稍微有些周期性的变化,他在考虑怎样在式子里加上28天的周期项。。。

这就是构造数学模型的工作,用数学推导出的定性结果来解决心中的疑虑。不要以为阿呆可笑,他表现出应用数学解决问题的资质和功力。这建模工作首先要有想象力,把实际的问题抽象出数学的量,建立起它们间的关系,然后应用数学的理论得出定性或定量的结果,发现误差和情况变化时,对模型做出修正。阿呆的模型对他的追妞有多大功效是一回事,这需要在实践中验证和修正。但他建模工作正是对数学理解的应用,体现出的是能力。历史上有人沿着阿呆考虑问题的思路,将考虑的感情量x换作是人口,建立起人口变化的数学模型。指数增长的简单模型由1798年马尔萨斯提出的,它吻合19世纪以前欧洲一些地区人口的统计数据和短期人口增长的预测。当人口增长越过最快增长期后,更精细的阻滞增长模型很好地拟合1860到1990的美国人口数据,用它求出r 和 xm参数后,可以用来验证2000年人口及预测2010年人口。Logistic模型中经济领域有很多应用。

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