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理解数学——模型

时间:2013-08-16 16:36:48  来源:  作者:

从形式主义的观点来看,数学的命题是由没有含义的符号,按照语法规则形成的符号串;数学的推理是按照演绎规则,机械地产生出一些新的符号串;数学的各个分支理论,只是在逻辑上自洽的命题集合,在里面研究怎样演绎产生的新命题。虽然凭借着各种例子的解释,赋予这些数学概念和命题的某种解释,但这些不能够被准确定义的形象解释,只能用来帮助想象,不能作为证明推理的根据,也不是对它们唯一的解读。数学真正的内容只是逻辑上的建筑。如此,数学既不代表着真理,也没有天赋权利,为什么能够作为其他学科描述世界的工具,和发现真理的凭借?

这理由来自“抽象”和“逻辑”。科学研究中的演绎方法,用抽象剔除不相干的因素,研究其反映本质的概念和关系,依逻辑从一般性的规律出发,推演出针对这些概念和关系的结论。数学也是做同样的事。只不过数学一般不关心这抽象概念、关系和一般规律的来源,只是把它们当作符号和给定的式子用演绎规则来操作,得出了结论也不依赖于外部的验证,只专注于自身逻辑推理的严谨性。其他学科从现实世界抽象而来的概念和命题,有明确的含义在其背景中,可以在实践中验证。而数学里的概念和命题只具合乎语法的形式,只能反映逻辑的关系。这是两类不同的东西,为什么数学推导的结果,可以用在实践中?

这要在应用中规定论域,在形式的符号与具有含义的概念间建立起一个对应的关系。抽象的数学命题就像用语言描述的句子,往往不知所谓,没有真假。

比如说:“这人求婚了。”这只是符合语法的句子。如果“这人”对应着阿呆,隐含的变量“存在着某个女人”在“阿呆班上的女生”的论域里,谓词“向…求婚”对应着阿呆向论域上一个女生的求婚关系,就能给出这句话的一个解释,才能说它的真假。

数学理论和实践的关系也是如此。论域、常量、关系和运算函数的组合称为“结构”,当语言中的常量、谓词和运算符号对应着结构里相应的项,语言中的变量在论域上取值时,结构给出语言描述的命题一个解释。

数理逻辑的“模型论”【1】【2】是从集合论的角度阐述概念的表现,研究语言中形式和解释之间的关系。语言中一组自洽的命题,和依逻辑推理得到命题的集合称为一个“理论”。如果存在着一个结构,用其中的概念解释了理论的命题中符号后,理论中的每一个命题都在这个结构的解释中成立,则称这个结构是这理论的一个“模型”。将符号构成命题的规则是语言的“语法”,模型的解释则给予语言的“语义”。一个理论可能有不同的模型。

例如形式语言的命题:∀x∀y∀z((x·y)·z = x ·(y· z)) 结合律和∀x(x·1=1·x=x) 单位元律,可以形成成一个“么半群”理论。对于满足这两条公理的集合G,GxG到G上的二元函数·和G中元素1的组合(G,·,1)是一个数学结构,实际上它是么半群数学抽象的定义,也是么半群理论在集合论上的模型。很容易看出,自然数和矩阵在乘法下都是么半群的模型。如果变量符号x, y, z在字符串论域里取值,运算符号·对应着字符串拼接操作,常量1对应着空字符,这个字符串组合的系统也是这个理论的模型。么半群理论常被当作计算机科学的代数基础。

由于历史的原因,“模型”这个名称在模型论与数学应用中,对具体和抽象的对应关系刚好掉换了个位置。在模型论里指的是作为抽象形式语言理论模板的具体数学对象,在数学应用中指对应于现实世界的数学模型。本文关心的是用具体内容来解释抽象理论的研究。在这博文里,“模型”这个词的两种用法,读者要从上下文中注意它的所指。模型论主要是研究一阶形式语言和数学内容的关系,但在这里,用来指导数学模型在实践中的应用。

现代数学基于一阶语言上,它是描写公理系统的标准语言。它是用个体变元、个体常元、函数符号、关系符号或称谓词符号,以及与、或、非、蕴涵等命题连接词,加上“存在”和“一切”两种量词所表达的语言。其中量词“存在”、“一切”只允许对个体使用,不允许对集合或谓词等使用。

模型论的基石,哥德尔完全性定理,有几种等价的说法,与这里有关的是:“能够在一阶(语言表达的)理论里逻辑推理出来的命题,当且仅当它在所有模型中解释都是成立的。”它把形式推理和语义联系起来。将模型看成是理论的一个应用,理论推理的结果在应用对象的解释中都成立。反之,应用对象的客观规律也可能在理论中得到证明。这定理并非消除了形式推理和语义这两个概念的区别,哥德尔不完全性定理说:“对于包含算术PA公理相容的系统,有些语义上为真的命题在系统里不能被形式证明。”模型论里紧致性定理和Lowenheim-Skolem定理是关于无穷理论和模型的重要定理,这里不涉及就不介绍了,有兴趣可以参考教科书。

数学模型只描述现实世界的部分性质,如果所关注的不被描述,是没有选对数学模型。如果数学模型里某些概念和命题在实践不能解释,那是用错了数学模型。

可以用“群”的数学模型,来描述机械单向有限转动操作的系统,比如说每次只能顺时针转40度或50度。所有小于360度可能转动角度的集合是群定义中变量的论域。符号·联系着两次挨着可能的转动角度,1是转了0度或一圈,逆函数是让这角度补成了圈的角度。不难验证这在实践上解释了群的理论。

只用“么半群”来描述它,就选差了模型,它不足以在理论上计算从停留的任何一个角度,怎么转回原点的操作问题。

有人说:“数学用于追妞是瞎掰,我从魂不守舍追得形销骨立,心仪MM对我仍是不屑一顾。哪有一点像感情增长的Logistic模型?”

这也是用错了模型,说明你没有到达追妞渐入佳境的状况,你关注的内容不在这模型里。你该关心的,这是否超出你的追妞条件和MM对你的疏远程度的问题,这要别的模型。

如果你用“整数加法”的数学模型来描述单向转动操作的系统,这是用错了模型。你会觉得这模型太扯淡,居然认为每次都转50度后,离最初位置的角度一定是50的倍数。

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