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理解数学——抽象(2)

时间:2013-07-26 14:50:46  来源:  作者:

在早期,数学和物理等自然科学并不区分。亚里士多德认为演绎推理是走向真理唯一的途径,自然数曾被毕达哥斯学派认为是宇宙中的真理。后来数学与其他科学渐行渐远,其原因在于对抽象的要求。所有的科学都是对现实世界某种程度的抽象。培根开辟了归纳法的道路,在他看来抽象是滤去细节,理解本质的途径,是为了抓住主导因素,提炼出一般结果的手段。应用于具体事物的结论,如果不能在实践中得到验证,就没有意义。在这里,实践是检验真理的唯一标准。有了这个裁判来把关,其中抽象和演绎的疵瑕都可以容忍。而数学则沉迷于思辨,继续在亚里士多德的路上前行,认为理论的结果,仅仅凭着有限事例的验证不足以确定它的真实,它的正确性必须由严谨的逻辑来保证。对于数学,抽象则是将概念剥离了现实世界,纯粹作为逻辑所需要的关系来描写,数学的推理过程和结论不再依赖于具体的事物来判断是非。200年前非欧几何的出现,数学家普遍觉悟到了:数学追求的不再是真理,而是从抽象的假设出发按照逻辑能够到达的探索。数学就像一把刀,可以切菜也可以当艺术品。应用时显示出它实用的价值,欣赏时看到是抽象世界在逻辑下和谐的美。将数学作为工具应用于其他科学时,这个交汇的界面就在抽象概念的理解上。

抽象从具体事物中提取了共通的本质,称之为概念。定义则将抽象出来的概念,用严谨的语言描述与已知概念的逻辑关系。

为什么数学的抽象要彻底地剥离具体的事物?因为不同经验的人,对于同一个概念可能有不同的直观想象,用具体事物作为辅助可能有着不同的解读。例如乘法,对于中学生只有实数复数的直观,对于大学生也许还有矩阵乘法的知识。当把这运算抽象到群的乘法时,他们对此的感觉就不同了。前者可能不理解为什么还要区分左乘和右乘,证明逆是唯一的时,不理解为什么还要证明左逆和右逆是一样的。尽管群的乘法定义没有谈及是否能够交换,因为它的概念涵盖了数及其他的运算,在推理中人们往往不自觉地利用心中的想象,这就可能产生偏差,不同知识背景的人可能得到不同的结论,或得出结论并非普遍适用要依赖于隐含的背景。只有经过数学的训练,人们才能消除不加分辨抽象和具体的习惯。演绎推理中涉及到概念只根据抽象的定义,不借助定义之外的任何背景和直观,这才能普适,才能谈清问题。

这样的抽象化,能把不同事物的相同议题共治一炉了。学过线性代数的,都知道向量空间的抽象定义,知道向量可以表示为一组基底的线性组合。这样,有穷维空间的向量就表示为给定基底下数组的坐标;把函数看成向量,它的级数展开不过是无穷维向量对其基底的线性表示。引入内积后,可以定义单位正交基底,向量可以通过与这些单位正交基底的内积,求出在这组基底下线性组合的系数。在向量空间定义下封闭的一类函数,用两个函数的某种积分来定义内积,傅立叶(归一化的三角函数)、勒让德、雅可比、切比雪夫等正交多项式就不过是在这内积定义下的正交基底族。函数用它们展开的级数便是向量的线性表示。任取一族函数定义了内积后,都可以通过Gram-Schmidt正交化形成对某一类函数向量空间的单位正交基底,这一类函数都可以在收敛的情况下表示为这些基底的级数展开。没有计算机之前,历史上盛行的各种特殊函数,都是针对不同微分方程解空间函数的基底。微分、积分、线性变换等都是线性算子,算子的特征向量对应着特征函数,利用这些线性代数的性质就可以把微分方程的解转换成线性方程组的解。这些性质和应用,都依赖于抽象的向量和内积等定义,和仅仅依赖于这抽象定义下的推理。如果依赖于数组矩阵来解读向量和算子的概念,就难有这种清晰的判断。那就要像许多教科书一样,沿着数组和矩阵的路子,以函数、级数和积分的形式再走一遍同样的证明和推导。

运用线性代数的知识,也容易理解量子力学的狄拉克的算符力学,海森堡的矩阵力学和薛定谔的波动力学都不过是对向量空间不同的表示。理解了向量空间的抽象概念和它的性质后,这些看起来很不同的内容,也不过是线性代数在不同对象的简单应用,只要掌握好抽象概念的对应关系,就可以简单地套用线性代数的结果,而没有必要重覆证明介绍。

大仲马的《基督山恩仇记》里有段博学的教士教诲的故事,大意是说,人类的知识看起来很繁杂,其实有许多共通的本质,只要沿着正确的路子,可以在很短的时间内把握住主干,其他都能触类旁通,简单应用。

数学就是这个演绎理论的主干,将现实世界的问题抽象成合适的定义和公理,就能够借助它的力量长出参天的大树。拉格朗日用变分法和数学分析为主干完成了《分析力学》后,在前言中得意地宣称:“力学已经成为分析的一个分支”。确实的,在那里除了少数力学名词概念外全是数学分析的内容。

能按严谨的逻辑理解抽象的定义,这是对演绎结果自信的保障,就能在它的应用上高屋建瓴,纵横自如。

对数学抽象缺乏深入理解的人经常犯的错误是:对研究的对象只是形式地用数学语言描述和了解,而缺乏对本质的提取和认知。说个故事。

张三忍无可忍地把他老板告上法庭。为了揭露老板的欺骗,并让自己的申诉显得符合科学,有理论高度,他用上统计的概念:“老板在广告中说,这里工资平均月薪2000,可是李四、王五和我没有一个超过800.” 老板解释说,老婆和我的月薪都是4000,儿子3000,小舅子2000,加上了你们,七人平均怎么没超过2000?帮助张三打官司学统计的大学生提醒,不说平均数,要说众数和中位数。老板说,除了老婆和我外,大家工资都不一样,这里众数是4000,中位数是2000,我们公司统计形象不输于一般小公司呀!而且我们是民主制,工资的规定无论按股份比例还是一人一票都经得起选举决定,你要搞特殊?

很多人看了这故事后反应,都认为老板在狡辩和忽悠,其实你如果认真考虑一下,就知道老板说的都是事实。大家了解事实后就气愤地指责:数学不一定都有道理,这计算完全是诡辩。这个大家与几千年前巴比伦人在城门口贴的告示,“禁止数学家和骗子进城”是同一个认知水平。

这里的错误是张三在诉求中用错了概念,大家在同情张三时责难数学是非理性的。很多人习惯把抽象的概念和科学证明当作感性诉求的装饰品,而不尊重它的真实内容。当科学的结论与社会主流的看法,耳濡目染的观念相矛盾,特别是与感情相冲突时,人们常常认为讲逻辑的一方是强词夺理,而从不检查自己是否用错了观念后在强词夺理。其实这问题在统计上,老板无懈可击,他的决策说法也符合民主原则。张三的真正诉求应该是不接受这与平均值相去甚远的个人待遇,而不是将它拔高认为统计结果不符合道德标准。他们三人弱势群体在这公司待遇的改善,不可能通过民主方式来达到,因为这与公司大多数人的利益相矛盾。要改变它,通过市场博弈,或者让老板从长远考虑的独断,都比从政治观念着眼来得靠谱。这故事说明要应用数学,就要尊重它的规则,准确使用抽象的概念,而不是把它当作装饰品。

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