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理解数学——逻辑

时间:2013-07-17 01:01:09  来源:  作者:

说数学抽象的一个目的,是提取不同模型的共同逻辑关系来定义概念,从而能将不同的应用对象,具有某种结构共同性质的研究共治一炉。其另一目的,是为逻辑推理服务。逻辑推理不容许任何含糊不清的描述,当某个概念可能导致混淆和矛盾的属性时,总可以通过抽象定义的细化来区分它们。数学抽象的定义除了概念之间的逻辑关系,别无其他。这样子,数学的问题,只要尊重逻辑总是可以谈清楚的。逻辑的结论,只要对象符合定义都可以应用。数学的抽象和逻辑互相依赖,密不可分来保证演绎理论的价值。

我们经常可以看到逻辑混乱的事例,这些情况且不说不符合数学里形而上的逻辑,连日常沟通的朴素逻辑都达不到。举两个科学网里的例子:

5次方程公式解的争论被简化为一个判决性的验算,程教授提供一个方程全部的5个根,从吴教授的方法中推出一个公式,如果这些方程的根符合这公式,则有可能用吴的方法解这方程,否则这方法有问题。程教授先提供的是精确到6位小数的根。代入方程后最大的一个误差是0.000059(经纠错后为0.000002),而在吴教授的公式里误差是-1.9659。吴教授认为这解不够精确,而且“即使它们分别代入该方程都符合,也不能肯定它们5个就是该方程的解。这各数是否方程的解,必须用‘是否满足各解与各系数的各关系式’来检验!” 程教授又提供更精确的解,有10位小数。代入方程和根与系数关系式,两种检验方法的误差都在第10位小数。当把这解代入作为判决的吴教授公式时,误差还是-1.9659…。吴教授宣称这还不是解,因为不符合他的公式,所以他没错!

有位工科教授说:“我对数学的理解是这样的:小学数学,值100元;中学数学:值50元;大学数学:值5元;微积分之后的数学:值1分钱。”他引用韩寒的话:“我以前在报纸上发表过一篇文章,说,数学学到初二就够了,引起了很多数学爱好者的愤怒,……,思考的结果是我不得不向他们道歉。我错了。因为数学其实学到初一就够了。”对于评论:“这可以理解,因为韩寒是数学0分,不懂数学。你的理解和陈述是文艺性的……”他回答说:“‘数学……’更是荒谬可笑,根本不值一驳。……数学家们就没有必要再浪费人类的粮食了。……那是一种病态的自恋。……脱离了现实世界的数学,必然走向历史虚无主义和神秘主义,并最终滑到唯心主义的泥坑里去,成为阻挡人类文明与进步的反动力量。”

这类的逻辑在科学网的博文和评论里不少,尤其是科普的跟贴,这让我想起一个笑话:

小王有爱心,每次见到那乞丐都给10块钱,持续了两年。有一回小王只给5块。乞丐问:“以前给10块,怎么现在只给5块?”小王说:“我结婚了。”乞丐一巴掌打过去:“妈的,竟拿我的钱养女人!”

这是网上常见的思想模式,不讲逻辑,让情绪主导。现在网络文章以谐音别字为时尚,扭曲逗趣为才情,悲天悯人为脱俗,就是没有逻辑。有些教授在课堂里照本宣科时可能还不离谱,离开课堂就不装了,对事认真也在鄙视之列,几十年下来社会平均学历越来越高,明理知耻的人越来越少,受贿款当小三也觉得是有追求,作弊被抓的气壮心不亏,胡搅蛮缠能叫好,耍赖疯颠有同情,以为是智慧,以为有个性。这在以科教社区为主旨的科学网里也大行其道。难怪许多没上过课的民科对教授、研究员很不屑。你们是这样的说理,我也可以这样谈研究。

其实“民科”是从事业余研究的人士,这不带贬义,反因研究是由纯粹的兴趣,不受基金年考功利的约束,不落传统习惯的巢臼,思想更开阔,更有希望带来新颖的突破。有些民科的不足是在研究领域没有受到足够的训练,对于问题相关的结果了解不充分,对涉及到的概念理解不准确。但这只是个学习的问题,只要在交流中认识到了,再学习补充都不难克服,做出专业的水平。民科名声的败坏是一些人缺乏尊重事实和逻辑的素养,却想用悲情、宣传和炒作来取胜,这其实是很悲哀的。因为民科的成果能够被学术界接受,尊重事实是起码的,唯一可以依仗的是逻辑的力量,无厘头的争辩只会让学术界不屑。其实无论是民科还是职业,不尊重事实和逻辑都不是在谈科学。只是多数民科是在默默地工作,而打着民科旗号叫嚷最凶的其实不是做研究,而是让他们代表了。真正研究问题的民科,如果在表述成果和讨论时,用逻辑说话,表现得比较专业,就不会被伪民科殃及了。

对于数学问题的逻辑推理,不需要旁征博引,这无关精神崇高或政治正确,不带情绪,不涉人品,与地位权威无关,要滤去形容词、副词、情绪词,直视命题中的抽象概念和逻辑推理。

逻辑这词被用时有两种场合,人们经常弄混了。一个是作为思维的规律,有各种各样的逻辑,用在哲理、认知科学和思想方法上。在演绎推理和交流讨论时,讲逻辑是要遵守一定的规则。

科学研究演绎推理用的逻辑可不是归纳逻辑,联想逻辑,辩证逻辑等等,那属于思想方法。演绎推理,用的是2000多年前,古希腊亚里士多德奠定形而上学的形式逻辑。这个我们中学的语文课和数学课都讲过,谐音别字,辩证圆滑,言不及义,煽情悲悯,莫衷一是,如果是写文学作品也许很有趣,但用到交流学术、辩论分歧和演绎推理却是不行的。

形式逻辑有四条规则:同一律、矛盾律、排中律和理由充足律。这四条规律要求思维必须具备确定性、无矛盾性、一贯性和论证性。在传达信息,演绎推理时,只有遵守这种原始,机械,没有歧义的规则才行得通。现代的数理逻辑不过将形式逻辑符号化,考虑量词,显得更加机械和严谨。中国古代科技的发展没形成以演绎为特征的理论,就是因为缺乏形式逻辑。

这形式逻辑的四条定律是很基本的规则,大家应该全学过,我这儿就举两例子。

同一律是最基本的要求,在一个思维过程中,概念或思维对象必须保持其同一性。

古希腊诡辩学者普洛泰哥拉与向他学法律的学生欧提西斯约定,学费在欧提西斯出庭胜诉后交付。欧提西斯学成后不出庭,也就不交学费了。普洛泰哥拉向法庭起诉。普洛泰哥拉对学生说:“如果你胜诉了,按约定你要付款;败诉了,你必须按照法庭的判决付款;无论胜败,你都得交学费。”

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