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理解数学——抽象

时间:2013-07-12 13:59:22  来源:  作者:

要准确地使用概念,必须理解数学中的定义。定义中的概念是靠与已经定义过概念的相互逻辑关系来约束的,除此约束别无其他。

比如说实数,比较严格的是1872年德国戴德金的定义。他用集合理论作为基础开始定义自然数。势是集合一一满映射的等价类,自然数是集合的势。1的定义是只含有空集为元素集合的势,空集和1作为集合的元素定义了2,空集、1和2作为元素定义3,如同“道生一,一生二,二生三”,如此以往,生成了自然数。这样表达自然数的概念,比起说到3,搬出三根指头或三个苹果让你自悟,则是剥离了具体的事例,只含有与已知概念的逻辑关系。

在自然数N上定义了加法。考虑两个自然数成对的集合{ (m, n) | m, n∈N },这集合里的任何两个元素(m, n)和(m’, n’) 满足 m + n’ = m’ + n 构成一个等价类,这等价类的集合叫整数,(n, n) 的等价类定义了0,(n+k, n) 定义了正数k,(n, n+k) 定义了负数–k。在这上面又可以定义加法和减法。所谓的“等价类”就是集合中的元素在某种关系下等价,把它们归为同一类的意思,把这具有相同性质的同类归结为一个概念,叫抽象,这样的描述叫定义。

相似于整数的定义,有理数是两个整数在给定一种乘法关系下的等价类。

实数是有理数和无理数的全体。无理数是用有理数来定义的,用个方法叫戴德金分割。他说:把有理数的全体划分成非空、不交、没有遗漏的A、B两类,B类中的每个数都大于A类的任何的数,A中没有最大的数,这叫一个分划。根据有理数的稠密性分划是可以做到的。这样子只有两种情况,B中有和没有最小数。如果B中有个最小数,这叫有理分划,如果B中没有最小数,这叫无理分划。每个无理分划定义一个无理数,它比A中所有的数大,比B中的所有数小。

比如说,√2,它把所有平方大于它的正有理数分到B类,其他的归为A类;B类没有最小数,所以它是无理数。

这样的定义,每个只用到前面定义过的概念,不涉及无穷的概念。比较明确也易于验证。

对于不是学数学的人,可能说这样的定义反而让我对熟悉的概念弄得是一头雾水。也许确是这样的,但它的好处是没有任何含糊不清的东西。不然,可能辩不清到底3是三根手指还是三个苹果,争不清楚1和0.999…是不是同一个数。对这样定义的概念,当看法有分歧时,可以一起用定义来检验,这可以一直追踪到没有分歧的共同基础为止。只要你有数学知识,愿意遵从逻辑,没有分不清的概念,没有谈不清的问题。

有人疑惑,既然每个定义都是用已知被定义过的概念来约束描述,那最初的概念是怎么定义的?

在形式化的公理体系中,最初原始的概念是个“原子”,只是个抽象的符号,名字而已,没有含义,不依靠别的概念来定义。将这些原子概念用逻辑联系起来的命题,称为公理,作为系统初始公共的假设,规范要谈论的范围。所谓“无名,天地之始;有名,万物之母。故常无,欲以观其妙;常有,欲以观其徼。”

百年前在罗素、希尔伯特和法国的布尔巴基学派的影响下,现代数学建立在集合论的基础上。当朴素的集合概念因为罗素悖论,发现仍有含糊不清时,又用了一阶逻辑来定义。集合的概念建立在几条公理上。原子概念的定义在逻辑上只是同语反复,靠的是它们间的互相约束关系。在形式公理化系统中每个命题只是一个形式逻辑语句,没有含义甚至没有真假值,如果用符号表示便是一个符合语法规则的符号串。形式演绎推理,便是将一些符号串和系统里公理的符号串,按照几个简单规则进行的机械操作,产生新的符号串。或者用自然的语言,将这些命题和公理在逻辑规则下推导出新的命题。

比如说在集合论的基础上,“开集”和“拓扑”的定义是这样的:在集合X上一族名为“开集”的子集,有下列的性质:1.开集的并集是开集,2.有限个开集的交集是开集,3.空集和X是开集。这族开集记为τ,叫X上的“拓扑”,称(X,τ)是一个拓扑空间,当不会混淆是哪个τ时,可以简称X是一个拓扑空间。

这样定义的好处是推理之时绝无含糊之处,任何人和机器在这机械的操作中绝对一致。缺点是不好想象。如果不是追根究底地了解一大串的定义,直到我想应用的概念,还真不知道是不是符合这定义。人们的思想来自直观的想象,这就需要一些例子把这些定义与人们的经验联系起来。比如说朴素的集合论,只有两个概念:元素和集合,集合是元素的总体,元素是集合的成员。这两句话是翻过来倒过去的,怕你拎不清时,就举例子来说明:一筐苹果是集合,苹果是元素。怕你以为集合只关水果的事,再说:大伯,小姨子,二姑婆,三孙子这一伙人是个集合,这每个人是元素。怕你以为只关物质,就说:自然数是集合,每个数都是元素。。。

有人糊涂了,我好不容易被你说服了,数学的抽象是彻底地剥离具体的事物,定义要摒弃任何直观,怎么又绕回来了?

人脑的记忆和运作是神经元的联系和触发,认知是具体事件的联想记忆,逻辑和抽象是后天养成的功力。抽象的概念,往往是由各人心中具体记忆所想支撑着,联系着无数的事例和它们的结果。剥离了具体事物的概念虽然干净的毫无误差,机器也能操作,但是以此来思考的人也像机器一样毫无灵感。用逻辑串起来的概念,联系单薄,难以记忆,不能望远。为了让你容易想象和记忆被定义的概念,用事例说明是最迅速和直观的办法。这就给原来只是逻辑联系起来的符号一种含义的解释,原来只是在语法组织起来的符号串或陈述句就有了语义。对抽象概念组成的一阶逻辑系统中,保持所有函数映射和逻辑对应关系的一套解释,称为一个模型。借助具体的模型可以帮助记忆、理解和指导这些概念的应用。

比如说,把实数集上的开区间和它们的可数次并集,看作是一类子集,不难检验这类子集有开集的性质,所以可认为它们是开集,这开集族是实数的一个拓扑,它们构成了拓扑空间,这也是大家在实分析中最习惯的概念,几乎认为所谓开集只是它了。在函数集合里可以用积分来定义距离,用距离来定义函数空间的开集,函数集合在这开集族下是个拓扑空间。概率的事件空间也可以定义它的开集,所以也构造了一个拓扑空间。你可以依照各个模型的解释,各自推演出结果。也可以定义了拓扑后,直接用它定义函数的连续性,由包含着含有某元素一个开集的集合来定义这元素的邻域,以此来定义收敛等等概念。把实数、函数,概率事件空间等各种抽象集合,具有某种结构的共同性质研究共治一炉。

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