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20世纪杰出数学家眼中的数学

时间:2013-04-21 17:17:18  来源:  作者:

随着科学技术的数学化,以及定量化方法和计算机的普及,有史以来,数学从来没有像现在这样受到社会各行各业人员的广泛关注。

数学正影响着整个人类思考问题的方式。越来越多的人都渴望了解“什么是数学”的问题。

R.柯朗(1888-1972)等人的普及数学的经典名著《什么是数学》从1941年问世以来,被翻译成多种文字出版,至今长盛不衰。1996年推出的第二版,新增了由I.斯图尔特撰写的第9章。这一章叙述了现代数学的一些新方向、新分支,以及原作者柯朗在世时尚未解决的一些重大数学问题,其中有些至今已解决,例如费马大定理、四色问题等;有的已取得重大的进展,例如哥德巴赫猜想等。斯图尔特是沃里克大学的数学教授,他还是一位著名的科普作家,长期在《科学美国人》杂志上主编《数学娱乐》专栏。

最近,复旦大学出版社把此书第二版的中译本列入“西方数学文化理念译丛”,提供给广大热爱数学的读者。

柯朗是当代世界公认的著名数学家,对当代数学研究与数学教育都具有广泛的影响。他于1910年在德国哥廷根大学取得博士学位后,长期在该大学任教。哥廷根大学是哥廷根学派的基地,这个由高斯开创,黎曼、F·克莱因、希尔伯特等人发扬光大所形成的著名学派,在近代世界数学史上长期处于主导地位,对世界的数学发展、数学教育以及其他数学学派的发展影响很大。柯朗受到哥廷根学派的长期熏陶。

希尔伯特说:“数学科学是一个不可分割的有机整体,它的生命力正是在于它各部分之间的联系”。这种关于数学统一性的思想,是哥廷根学派的基本指导思想。这个学派主张基础数学与应用数学并重,重视数学史研究和数学教育,在教学上注重启发。强调数学理论与实际活动紧密联系,是它的科学传统。

柯朗在1933年离开德国,到美国从事数学研究与教育。他在美国纽约大学长期工作,并做出了卓越的贡献。这所大学拥有世界上最大的应用数学研究中心,它就是著名的以他的名字命名的柯朗数学研究院。

早在20世纪40年代,秉承哥廷根学派传统的柯朗,在紧张的数学研究工作之余出于对数学教育的强烈责任心,在哥廷根学派的一些成员的帮助下,精心写出此书,以满足人们日益增加的对数学知识与训练的需要。作者期望那些乐意进行独立思考的学生和教师,通过这本书,掌握数学的实质,摆脱数学的形式主义的束缚。

无独有偶,为了帮助人们掌握数学的实质,在柯朗等人的《什么是数学》(第一版)推出以后的20世纪50年代,前苏联一些著名的数学家合作撰写了另一部数学名著———《数学———它的内容,方法和意义》。它的中译本从50年代末开始在我国流行,受到广泛的欢迎。在原书中,数学各分支的顶级数学家撰写各自擅长学科的章节,读者阅读以后,也能了解数学的各分支与全貌。该书的新中译本于2001年推出。可惜的是,此书未能反映数学学科的最新进展。

在《什么是数学》中,作者贯穿了哥廷根学派数学统一性的思想,对基础数学的四大基本分科:代数学、几何学、分析学与拓扑学作了精辟的概述,反映它们相互渗透的趋势。此书还用较大的篇幅阐述了与应用数学密切相关的微积分。由于作者十分强调数学的应用以及它与其他领域的联系,因此使读者的范围大大扩展:无论是初学者还是专家;无论是学生还是教师;无论是哲学家还是工程师,都能从中得到教益与启迪。

本书在出版前,作者进行了好几年的精心准备。它的第一版问世已经60多年,至今还没有出现术语陈旧、观点过时的弊病。撰写第9章的斯图尔特欣喜地说:作者在书中所强调的解决问题的方法,至今仍然有效,所选取的数学材料如此之好,以至于没有一个单词或符号必须从新版中删去。

读者当然会对新增加的第9章感兴趣。这一章,既包括基础数学一些重大问题的最新进展,例如费马大定理、哥德巴赫猜想等。也有应用背景清晰的问题,例如施泰纳问题等。这一章的大部分,是原书第一版曾经提及的。特别难能可贵的是,这一章还应用拓扑学方法,纠正了作者在第一版讨论“力学中的一个问题”时出现的一个错误。

为了使《什么是数学》一书发挥更大的作用,作者还对不同类型的读者提出相应的建议。作者考虑这本书除了供读者阅读参考外,还可作为教材。因此,书中还配置了有关的习题。但它与通常的教材不同,它的内容生动且强调理解,而不是偏重于形式推导。综览全书,全然不见通常教材中频繁出现的令人生厌的、繁琐冗长的推导。

作者高屋建瓴,纯熟地处理有关的数学内容。以第8章为例,短短几十页的篇幅,囊括了微积分这一数学分支的全部内容。作者单刀直入主题。毋庸讳言,通常的微积分教科书篇幅数百页,洋洋大观,但由于旁敲侧击,主线不突出,往往使初学者如雾里看花,只见树木,不见森林。在第8章中,作者一反传统惯例,先讲积分,后讲导数。而对积分的概念,先给出特殊的定义,再过渡到一般的抽象定义。大多数教材与此不同,往往一下子给出最抽象的定义,成为读者的拦路虎。作者的新的处理方式,更符合认识规律,便于初学者领会。至今,我国公开出版的微积分(高等数学)教科书,不下1000种,而采用《什么是数学》先进写法的却寥寥无几。

博学多能的柯朗,曾经在数学的诸多领域取得过令人注目的成就,而且为了推动数学教育现代化,使数学教育能更好地适应社会发展的需要,他呕心沥血地努力。《什么是数学》一书就是他奉献给数学教育事业的一个成果。他在数学教育方面的真知灼见,至今还给后人以深刻的启发。

柯朗在《什么是数学》第一版的序言中指出,数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势,而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。可喜的是,上述情况,至今已有所改变。但柯朗又指出,数学教育陷入严重的危机之中,数学工作者要对此负一定的责任。数学教学有时竟演变成空洞的解题训练。这种训练虽然可以提高形式推导的能力,但却不能导致对数学的真正理解,也无助于提高独立思考的能力。柯朗对数学教育界的上述批评,虽然过去了60年,但至今仍然有深刻的现实意义。正如我国一位从事数学教育工作的网民说,“柯朗的批评既尖锐又中肯,我们在课程的教学过程中应该尽量避免出现这样的现象”。

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