| 学习榜样 | 古今学习模式与中外人才培养 | 基础学习 | 语言学习 | 人间美文 | 学习能力 | 学习工具 | 学习理论 | 科研美图 |
您当前的位置:首页 > 快乐学习 > 古今学习模式与中外人才培养

数学思想与方法

时间:2010-05-19 06:50:12  来源:  作者:

一, 数学思想方法简介
1.数学思想与方法
1,从词义看:思想是指客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果.
2,从哲学角度看,思想的涵义有二:一是与"观念"同义,二是指相对于感性认识的理性认识成果.
3,数学思想:对数学知识的本质认识,是对数学规律的理性认识,是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的思想观点,它在认识活动中被反复运用,带有普遍的指导意义,是建立数学和用数学问题的指导思想.例:化归思想,分类思想,模型思想,极限思想,统计思想,最优化思想.
4,数学方法:从数学角度提出问题,解决问题(包括数学内部问题和实际问题)的过程中采用的各种方式,手段,途径等,其中包括变换数学形式.
求和 可以考虑分解组合的方法,变换问题的数学形式.
例1 求和
可以考虑分解组合的方法,变换问题的数学形式.
5,数学方法按不同标准有不同的分类:
按作用的范围可以分为三个不同的层次:一,一般的逻辑方法,如分析,综合,类比,综合,联想,归纳,演绎,猜想等,它们不仅适用于数学,而且适应于其他学科领域.二,全局性的数学方法,如极限方法,关系映射反演方法,数学模型方法等,这些方法的作用范围广,有的甚至影响着一个数学分支和其他学科的发展方向.三,技巧性的数学方法,如换元法,待定系数法,配方法等,它们往往和具体数学内容联系在一起,是解决某类数学问题的方法.
若按数学方法的运用功能分为数学发现方法,数学证明等.
6,数学方法的特点
(1)概括性:
(2)隶属性
(3)层次性
(4)过程性
二,数学思想方法的发展和演进
数学是一门古老的学科,它从萌芽时期发展至今已经有数千年的历史.数学的发展史不只是一些新概念,新命题的简单堆砌,它包含着数学思想和方法的积淀,尤其是数学本身许多质的飞跃,即数学思想方法的重大突破.
1,古代的数学思想和方法
从远古到公元前5世纪左右的数学萌芽时期是一个漫长的历史过程. (人们积累了算术和几何方面的零碎知识,逐渐形成了抽象意义下的数和图形的概念,产生了计数法和各种数制下的算法,出现了测地术.此时尚未形成一般的数学理论,还谈不上有什么重要的数学思想.但是一一对应的计数法(对应思想)和记数符号的使用有力地推动了数学的发展.另外,直接的观察和体念被作为最重要的认识方法.
数学经过漫长的萌芽时期,在古巴比伦,埃及和中国积累了大量的数学知识之后,汇成了两股不同的数学源流,形成了两个各具特色,风格各异的数学体系.一个是以巴比伦和埃及数学为源头的,在希腊汇合后又得到长足进步与发展的古希腊数学,另一个则是以解决问题为宗旨,以注重算法为特点的古代中国数学.
古希腊的数学融数学与哲学为一体,以哲学促进数学理论的建立,提出了一系列思辩性的数学观点,理论和方法.首先 ,古希腊人对数学的认识有了根本性的变化.他们认为数学不仅可用来解决一些实际问题,更重要的是他们试图用数学来理解世界,把数学看作是理解宇宙的一把钥匙,是研究自然的一部分,其深刻的数学思想对后世影响很大.其次,古希腊人用演绎证明方法研究几何,使几何学成为一个演绎系统.欧几里得的《几何原本》和阿波罗尼斯的《圆锥曲线》是演绎数学的代表著作.把逻辑证明系统地引入数学,把数学奠基于逻辑之上,这是对数学认识的一个质的飞跃.由此得来数学思想方法的更新——公里化的思想和演绎推理进入了数学.值得一提的是,古希腊虽然非常强调演绎推理,但数学思想发展的历史表明,他们的数学创造也离不开观察,实验,离不开归纳,猜想和分析.
中国古代数学是以问题为中心的算法体系,《九章算术》的成书是其形成的标志.
2,近代的数学思想和方法
17~18世纪,欧洲的数学创造也进入了一个崭新的时期,这个时期,数学不仅产生了许多新的分支,而且产生了许多新的思想和方法,它突出表现在从演绎几何到几何代数化,从常量数学到变量数学以及从必然数学到或然数学的几个重大转折上.
3,现代的数学思想和方法
4.数学思想应用举例
(1)方程与函数
4.1.1 方程思想
方程思想的特征与意义:
方程思想的核心:运用数学的符号化语言,将问题中已知量和未知量(或参变量)之间的数量关系,抽象为方程(或方程组),不等式等数学模型,然后通过对方程(或方程组),不等式的变换求出未知量的值,使问题获解,方程思想体系了已知与未知的对立统一.
掌握方程思想可分为三步:
1,学会代数设想.假定问题已解,即未知量客观存在且假设它已求出,然后用字母代表未知量,且与已知量平等对待.
2,学会代数翻译.透彻分析实际问题中已知量和未知量之间的关系,将用自然语言表达的实际问题翻译成用符号化语言表达的方程或不等式.
3,掌握解方程的思想.
(1)将函数问题转化为方程问题
例1.已知抛物线 的最高点的纵坐标为0,求a的值.
分析: 的最高点的纵坐标为0,说明顶点在轴上,即抛物线与 轴只有一个交点,所以方程有两个相同的实数根, 可求得 .
(2)构造方程探索问题的解
例2 若 ,且 ,求证:
分析:由已知等式中的常数 ,联想到构造一元二次方程
(1) 所以方程(1)的根,又因为,
, 所以方程(1)有两个相等的根 ,由韦达定理可得 .利用恒等式或等式和方程间的内在联系构造方程来解答,可以很巧妙地化繁为简.
例3 若 ,求证: 成等差数列.
分析:因为所给等式左边可写成 的形式,所以想到构造方程
若 ,则由已知又得到 ,结论显然成立;若 ,由方程各项系数之和 可得,方程有两个相等的实数根1,所以1= 即 所以, 成等差数列.
例4 已知
.
由所给条件的形式,容易联想到韦达定理.因为 必有一个大于0,不妨设 >0,则,于是,是方程的两根.再由已知条件和根的判别式可得 .
例3的解答中,方程的构造利用了根的判别式.例4的解答中,方程的构造利用了韦达定理.数学解题中,利用所给条件的特殊性,构造一元二次方程间接地解答原问题,是一种常用的方程思想.
构造方程解的思想体现了一种思维的创造性,这种创造性常常依赖于对问题的整体性认识和把握,依赖于思维的抽象水平,即运用符号化语言建立方程模型的能力.

来顶一下
返回首页
返回首页
发表评论 共有条评论
用户名: 密码:
验证码: 匿名发表
推荐资讯
相关文章
栏目更新
栏目热门