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除以0是可能的吗

时间:2014-06-15 16:17:42  来源:  作者:

 在数学届的讨论板上有一个常识性的问题,人们有时觉得数学家们太死板,所以才不想考虑海报上关于一个数是否可以除以0的有才气的想法。

这个意见源自对数学本身的一个误解。在数学中,我们不去发现数学对象。取而代之的是,我们定义研究对象,并且研究他们的性质。因此,像“1/0一定等于无穷大”这样的断言并不能说得通;1/0要么是已经被定义了的某些东西,要么就是它还没有被定义。
在形式上,除法仅仅是两个变量之间的函数。正如所示,你可以把它想象成一张庞大(实际上无限)的表:
/ 1 2 3
1 1 0.5 0.333…
2 2 1 0.666…
3 3 1.5 1

 

当你想知道3/2是什么的时候,去找表中的第3行,第2列,你就会看见它等于1.5。由于是无限的而且包含了像10.561234或者Pi这样的所有数,写满这个表是不可能的。但数学能做的,就是写出一系列的可言描述这个表格每个单元样子的规则。
正如数学家们对这个表格的定义那样,这个表格并没有0的一列。我们说1/0没有被定义,因为这个表里没有对应的单元格。1/0就像+/*或者∫/那样没有被定义。
定义除以0有意义么?
这是一个正确的提问。自从人们定义了除法,并没有发现a/b的含义,人们可以问:我们可以用一个有意义的途径定义a/0吗?
在一些定理中,最常见的定义a/0的理由就是用来简化记录。比如,当计算正数数列的极限时,对于不为0的a,定义a/0=∞可能是有帮助的,这样我们就可以方便地写出像这样的东西:
limn→∞1+1ne−n=limn→∞(1+1n)limn→∞e−n=10=∞
在这个环境中,我们定义它是为了缩短计算过程。在其他定理中,定义可以用作一些看起来奇怪的缩写;在测量理论中,大家习以为常地写出0⋅∞=0(即使这在极限理论中讲不通),从而,有了以下简写:
∫R0dλ=0⋅λ(R)=0⋅∞=0.
但是,当说到除以0的时候,人们经常想到一些算数的形式,像1/0=∞,因而5/0=5⋅∞,等等。这在复分析中,人们处理所谓的黎曼球面(C∪{∞})的时候会局部用到。出于许多原因,这么定义是非常实用的:
对于z∈C∖{0},z0=∞
尽管如此,这个运算是不可逆的,也就是说,我们不能写成z0⋅0=z。
在规则上,我们完全有可能建立一个运算,使它在某种程度上超于传统的写法,使1/0=∞有意义。但这样一来,就必须牺牲一些代数性质。这是下一篇文章的主题。
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