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如何高效地洞悉数学

时间:2012-12-03 20:43:24  来源:  作者:

如何获得数学的洞察力,确实不是能教就懂的(只可意会,不可言传),因此也难以践行。我不清楚你奋战数学时的感受。但总而言之,有些要点你可以想想看[1,2]:

1. 从基础证起,明晰直觉
没有“显而易见”的东西。尽量让你的所有证明正式到一个极致,确信每一步的推理紧接着之前的步骤、定义、或定理。花一些时间证明“最最基础”的属性,仅仅基于定义。而且,问问你自己哪样东西满足某些属性、哪样不满足。比如,理解“完备度量空间”时,想出一个“典型的”完备度量空间示例、一个“典型的”不完备度量空间示例,还有各一个“退化的”示例。举个例子,离散度量是完备的(你若懂度量空间,可能想证明它),却实在不匹配我们关于“一个完备度量空间‘应该’怎样”的直觉。对此,试着理解什么是洞悉一种属性或一样物体的直觉,例如,一个群是配备了一种运算的一个集合,这个定义有什么“用意”?也试着追踪直觉的足迹,看它在何处偏离数学,例如,我们喜欢几何地想象拓扑空间,却还有些相当非几何的拓扑空间。

述清不言而喻的东西。常为之。再述一遍。

2. 尽量重写、尽量重构
尽量以多样的方式重写同样的东西。例如,若问题关于一个正规子群,你该想出所有正规性的特征:它是同态的核;它在共轭下不变(等价于它的左陪集与右陪集相同);如果a和b在N的同一陪集内,则a-b在N内。

重写你关注的任何东西,重构以其他东西。开集的补是闭集,闭集的补是开集,连通空间有适当(非空)的闭开集。g在群G的中心,意指对任意h,都有gh=hg。

3. 证明合理吗?有无反例?
写下证明后,确保它看上去合理。它符合直觉吗?如果不,想想为什么。若问题出在你的直觉,试着想清楚你把什么想当然了,做好笔记,记住它。顺着论证的逻辑结构,随便举个简单例子,会不会就成为你想证明的“定理”的反例?每一步都紧随上一步?你确定?(我有位朋友,他这个学期写了三、四个错误的证明;每次他根据这些检查而都意识到错,虽然我通常不得不为他挑出有谬误的步骤。)

学会找反例。你若要证明某东西是错的,看向它结构里一些基础的实例。命题的陈述对它们成立吗?如果成立,你能看出哪些属性让它成立吗?如果能,试着想出一个没这些属性的例子。命题的陈述现在还成立吗?重复上述步骤(rinse and repeat)。

4. 当心你的假设,重写它
证明时留意你用过假设的地方。

重写你的假设。重写它们,换不同的词句。重写它们,换一种定义,令每个用词、术语都让你不舒服。

5. 多问傻问题
自问傻问题,再自答它们。实数集R完备吗?一个多项式为什么是连续的?整数集Z是阿贝尔群吗?有限生成群呢?Zn又如何?“阿贝尔”到底是什么意思?

别怕问别人一些傻问题。

6. 放松片刻,孕育直觉
当你枯坐数小时仍无从下手时,别沮丧,让思维的齿轮持续磨合。此时,放起音乐,然后摇滚。重写那些假设。试着做点啥。当你的脑袋卡壳、思绪陷于困境时,想想为什么此路不通。它究竟会引你到哪里?

别怕花上一两个小时做别的事情、再回来钻研问题。这些时候往往催生一些最棒的直觉:去沏些茶,读本书,看场电影,陪朋友喝咖啡,做点啥。然后回来再继续钻研。有时候你的心很难再回到解题上:重做一些更简单的问题,但试着换上不同的词句、或换上更干净的论证。

7. 解决更简单或更一般的问题
寻找联系。

解决更简单的问题。你需要分离两个紧集吗?不!从一个点分离一个紧集。你能再运用相同的论证吗?类似的论证适合两个一般的集合吗?

解决更一般的问题。不说n被3整除,该说所有具备某形式的数字都被3整除,再说n具备此形式。

望以上所述能助你多思。对了,不要低估解题技巧的重要性。一技傍身,留兩道板斧藏袖子里确实有必要。


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译注
[1] 本译文已重排15个要点,小标题为译者附加,特此说明。
[2] 本译文的配图来自互联网:Mathematics at QCC

 

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