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为什么没人喜欢学习高等数学

时间:2011-11-27 08:56:55  来源:  作者:

为什么他们的微积分会学得这么糟糕呢?让我来举几个例子。

我接手这门课程之后的第一部分内容是积分技巧。大部分时间,学生们都在练习这样的题
目:

计算下述不定积分:

\int\tan^7\theta\sec^5\theta d\theta

然后是微分方程。在介绍完基本定义之后,学生们在考试里会遇到的是这样的题目:

试求解下列微分方程:

x^2y'=y-y'

再然后是级数。虽然并不要求学生掌握 ε-δ 语言,但是他们要学习各种各样的判断级
数是否收敛的定理。作业和考试都是这样的:

判断下列级数是否收敛:

\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos\left(e^n\right)}{n\sqrt{n}}

我完全不能理解,一个非数学或物理专业的学生怎么可能从这样的教育中获得一丝一毫的
教益?他怎么可能不发自内心地痛恨这门课程,然后在考完试之后的一个小时之内把所有
内容忘得精光?象三角代换这类积分技巧,不要说一个普通的心理学或者经济学专业的学
生一辈子都用不到,就连我也一辈子都用不到。就算在极其罕见的情形下需要求解这类问
题,也完全可以求助于 wolframalpha.com 或者类似的工具。在我看来,在二十一世纪还
要求一个普通学生手算积分,就像是要求一个汽车驾校学员一定要从骑马学起一样。

实事求是地说,Stewart 这本教材并不坏,也尽力囊括了一些关于数学在别的领域中的应
用的内容和大量颇有趣味的阅读材料。但是问题在于,它仍然是一本基于数学家思维方式
写出来的教材,亦即在每一个课题上从最基本的定义和定理开始堆砌,直到超出教材所可
能涵盖的水平为止。例如,为什么学生需要学习变量分离的常微分方程的解法?因为这是
最容易解的(也是这个水平的学生所唯一可能学会解法的)常微分方程。也就是说,学生
学习这类方程(并且要做大量练习)不是因为它对学生来说重要,而是因为它是在数学大
厦里一个学生所能爬到的最高位置,如此而已。

可是一个学生为什么要去爬这座大厦呢?或者换句话说,数学家凭什么要求所有普通人都
按照数学家的方式来学数学呢?它除了把学生摔得鼻青脸肿之外,没有任何用处。每个学
生都不得不学会七八种判别一个级数是否收敛的技巧,但是他甚至没有机会得到一个简单
问题的答案:「我为什么要学习级数?」——对数学家来说这个问题没有意义,数学家反
正总是需要级数的。

但是它对别人有意义。每次当我走进课堂,开始讨论第一类反常积分和第二类反常积分或
者绝对收敛和相对收敛的区别,我都忍不住设想台下学生们的心情。他们会不会觉得我像
是个傻瓜?反正我觉得自己很像。

我常常碰到有人认真地问:「数学到底有什么用处?」这问题其实一点都不难回答,我可
以随口举出无数个例子来说明为什么社会的每个角落都须臾不可缺少最现代的数学工具,
但是我明白为什么别人会问这个问题。因为对于他们来说,数学就是他们在大学里学过的
这些习题。而这些习题对 99% 的大学生来说确实一点用都没有,甚至连「锻炼逻辑思维
能力」这种最虚幻的用处也谈不上。

如果是我来编写大学数学教材,我会争取让每一个在大学里读过数学课的人都能回答这样
的问题:为什么人们能精确预测几十年后的日食,却没法精确预测明天的天气;为什么人
们可以通过 https 安全地浏览网页而不会被监听;为什么全球变暖的速度超过一个界限
就变得不可逆了;为什么把文本文件压缩成 zip 体积会减少很多,而 mp3 文件压缩成
zip 大小却几乎不变;民生统计指标到底应该采用平均数还是中位数;当人们说两种乐器
声音的音高相同而音色不同的时候到底是什么意思⋯⋯这不是什么「趣味数学
」,这就是数学。基础、重要、深刻、美的数学。

在我的设想里,这才是大学基础数学教育所应该达成的任务。不是培养一个非数学专业的
现代人在数学领域的专业素质(这是无论如何也不可能成功的),而是让一个人能够在非
专业的前提下最大程度地掌握真正有用的现代数学知识,了解数学家们的工作怎样在各个
层面上和社会产生互动,以及社会在这个领域的投资得到了怎样的回报。别的科学门类的
基础教育也应当是这样。

更重要的是,任何一个接受过大学科学教育的人,无论他的职业是什么,他都应当能够明
确理解下面这些事:为什么历史上一次又一次有过处于少数地位的业余科学家在不被重视
的情况下做出重大贡献的事例,今天的科学界仍然在整体上排斥业余研究者的参与,并且
反对社会资源被用来鼓励业余研究;既然科学结论有可能并且也在事实上曾经反复被推翻
,连牛顿力学都会被爱因斯坦相对论所取代而相对论也可以继续被修正,当代科学家做出
的科学断言到底在什么意义上值得相信(或者是不是根本就不值得相信);科学问题是不
是和政治问题一样,并不存在所谓正确的答案,而每种立场其实都有其存在的意义和价值
;当一个科学上的专业问题同时又具有政治上的巨大影响力的时候(比如全球变暖、干细
胞研究或者转基因作物推广),不具有专业背景的公众到底应该具有怎样的发言权。让每
个现代人在大学教育中听到科学家对这些问题的回答,应当是大学科学教育不可回避的任
务。

毫无疑问,现状并不是这样。

我并没有在中国大学里教数学基础课的经历,但是就我的了解而言,情况和美国差不多。
我不止一次听到别人向我描述高数课给他们带来的痛苦,我能想象也能理解这种痛苦。这
不是中国或者美国的问题,而是普遍存在于时代的问题。

在科学的威力史无前例地席卷全社会的今天,科学和社会的关系也史无前例地疏远。这实
在是太危险了。

 

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